Lösung zu Klausur 09.07.2007

Aufgabe 1-4 sind für Mathe 1, Aufgabe 5-8 sind für Mathe 2.

Aufgabe 1 (Gleichung)

Jedes `in`(x,D)  Definitionsbereich muss die Bedingungen: 4 <= x , 3/4 < x, x < 8  erfüllen.Dies führt auf D=[4,8[.

>    (solve(sqrt(x-4)/sqrt(8-x)=1/sqrt(4*x-3),x)) ;
evalf(%);

>   

9/4+1/4*65^(1/2)

4.265564437

>    x1:=evalf(9./4+sqrt(65)/4);
x2:=evalf(9./4-sqrt(65)/4);

x1 := 4.265564437

x2 := .234435563

Die 2. Lösung liegt ausserhalb des Definitionsbereiches, sie kommt daher nicht in Frage. Es gilt also Lösungsmenge L={4.2655644}.
Bei der handschriftlichen Lösung muss man weiterhin noch die Probe machen, d.h. x1 und x2 in die Ausgangsgleichung einsetzen. Denn das Quadrieren (Wurzeln wegbekommen) ist eine "daraus-folgt"-Umformung, deshalb können nur die erhaltenen x1 und x2 Lösungen sein, müssen aber nicht.

Aufgabe 2 (Grenzwerte)

Aufgabe K1.2(a), (b)

>    limit(binomial(n,2)/(2*n^2-50)+3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity);

17/4

>    limit(ln(x^2)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0);

4

Wenn man (b) von Hand rechnet, ist es WICHTIG, ERST die Termvereinfachung über ln(x^2) = 2 ln(x) anzuwenden und dann ln(x) zu kürzen (!!):

>    Limit(ln(x^2)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0)=Limit(2*ln(x)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0);;

Limit(ln(x^2)*sin(x)^2/(1-cos(x))/ln(x),x = 0) = Limit(2*sin(x)^2/(1-cos(x)),x = 0)

Jetzt hat man einen Quotienten, dessen Zähler und Nenner recht einfach ist. Es liegt eine 0/0-Situation vor, weil 2sin(0)^2 = 0 und 1-cos(0)=0. Die Anwendung von L'Hospital ergibt    2*limit(2*sin(x)*cos(x)/sin(x),x = 0) = 4*cos(0)  = 4

(Nachtrag aus der Klausurkorrektur 09.07.2007: Das Ableiten ohne ln-Kürzen (was viele in der Klausur gemacht haben) ist erstens viel zu aufwendig, zweitens führt es zu nichts und drittens liegt keine 0/0-Situation vor (wie viele schrieben!), weil ja limit(ln(x),x = 0) = -infinity  ist.)

Aufgabe 3 (Taylor)

>    taylor(ln(x^2)+3*(x-2)^2,x=1,5);

series(3-4*(x-1)+2*(x-1)^2+2/3*(x-1)^3-1/2*(x-1)^4+O((x-1)^5),x=-(-1),5)

Aufgabe 4 (Lineare Algebra)

Der Lösungsvektor x hat 3 Zeilen und 1 Spalte.

>    A:=matrix(4,3,[[0,3,9],[2,-1,4],[4,-1,-1],[6,-1,-6]]);
b:=vector([-1,1,1,1]);

A := matrix([[0, 3, 9], [2, -1, 4], [4, -1, -1], [6, -1, -6]])

b := vector([-1, 1, 1, 1])

Die Zwischenergebnisse / die Lösung x von Ax=b kann man aus der Gauss-Jordan-Elimination ablesen:

>    Ab:=matrix(4,4,[[0,3,9,-1],[2,-1,4,1],[4,-1,-1,1],[6,-1,-6,1]]);
gausselim(Ab);gaussjord(Ab);

Ab := matrix([[0, 3, 9, -1], [2, -1, 4, 1], [4, -1, -1, 1], [6, -1, -6, 1]])

matrix([[2, -1, 4, 1], [0, 3, 9, -1], [0, 0, -12, -2/3], [0, 0, 0, 0]])

matrix([[1, 0, 0, 5/36], [0, 1, 0, -1/2], [0, 0, 1, 1/18], [0, 0, 0, 0]])

Den Lösungsvektor x=[5/36; -1/2; 1/18] liest man aus der letzten Spalte ab.
Alternativ erhältn man ihn auch über linsolve:

>    with(linalg): x:='x': x:=linsolve(A,b);

x := vector([5/36, -1/2, 1/18])

Die Probe stimmt:

>    multiply(A,x)=evalm(b);

vector([-1, 1, 1, 1]) = vector([-1, 1, 1, 1])

Aufgabe 5 (Gradient)

Der Gradient grad_E der Funktion E lautet:

>    E:=-(x-1)^2-4/(x-1)+9*y^2*cos(y)-2*y^3;

E := -(x-1)^2-4/(x-1)+9*y^2*cos(y)-2*y^3

>    x:='x': y:='y':
E_x:=diff(E,x);E_y:=diff(E,y);

E_x := -2*x+2+4/(x-1)^2

E_y := 18*y*cos(y)-9*y^2*sin(y)-6*y^2

Der Gradient bei (4,1) ist der Vektor der partiellen Ableitungen an der Stelle x=4, y=1 und zeigt in Richtung des steilsten Anstieges

>    gradE_0:=vector(2,[subs(x=4.,E_x),evalf(subs(y=1,E_y))]);

gradE_0 := vector([-5.555555556, -3.847797357])

Wir normieren den Gradienten auf Länge 1

>    gradE_0:=evalm(gradE_0/sqrt(gradE_0[1]^2+gradE_0[2]^2));

gradE_0 := vector([-.8220783590, -.5693743686])

... und schreiten eine Einheit in Gegen richtung zu gradE_1 von (4,1) weg (steilster Abstieg):

>    punkt1:=evalm(vector(2,[4,1]) - gradE_0);

punkt1 := vector([4.822078359, 1.569374369])

Bei punkt1 ist der (neue) Gradient nun gegeben durch die partiellen Ableitungen an der neuen Stelle

>    gradE_1:=vector(2,[subs(x=4.822,E_x),evalf(subs(y=1.569,E_y))]);

gradE_1 := vector([-7.370171514, -36.87564742])

Wir normieren den Gradienten auf Länge 1

>    gradE_1:=evalm(gradE_1/sqrt(gradE_1[1]^2+gradE_1[2]^2));

gradE_1 := vector([-.1959893609, -.9806060221])

... und schreiten eine Einheit in Gegen richtung zu gradE_1 von (4,1) weg (steilster Abstieg):

>    punkt2:=evalm(punkt1 + gradE_1);

punkt2 := vector([4.626088998, .5887683469])

Der Punkt punkt2 stimmt deshalb nicht mit dem Ausgangspunkt überein, weil die Richtung  des Gradienten im Punkt 1 anders ist als im Punkt (4,1)

Aufgabe 7 (Statistik)

Voraussetzung für Moivre-Laplace:

>    n:=182:p:=0.4:
n*p>5;
n*(1-p)>5;

5 < 72.8

5 < 109.2

Daher ist eine gute Näherung für P(X <= 80)  die Größe Phi((80-mu+.5)/sigma) = Phi(1.165)

>    mu:=n*p;
sigma:=sqrt(n*p*(1-p));
z:=(80-mu+0.5)/sigma;
stats[statevalf,cdf,normald](z);

mu := 72.8

sigma := 6.609084657

z := 1.165063000

.8780032538

D.h. unter den 182 Ehepaaren sind mit 87.8% Wahrscheinlichkeit höchstens 80 kinderlose.

(Mit Maple kann man auch die Probe machen und die Binomialverteilung ausrechnen (nicht klausurrelevant):

>    sum(stats[statevalf,pf,binomiald[182,0.4]](k),k=0..80);

.8776895200

... also stimmt's)

Aufgabe 6 (Baum) + Aufgabe 8 (Fourier)

s. handschriftliche Aufzeichnungen in Probeklausur12g-lsg-hand.pdf

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