Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/07/2006

Probeklausur 1c - 13.03.2006

Aufgabe P.1.1 (Definitionsbereich)

Aufgabe P.1.1(a): D = Menge aller x aus R, für die gilt: ( 1 < x oder x <= 0 ) und x <> 2  und x <> -2 .

Aufgabe P.1.1(b): D = Menge aller x aus R, die in einem der Intervall ] 2*n*Pi , (2*n+1)*Pi [ liegen, wobei n aus Z kommt.

Aufgabe P.1.2 (Grenzwerte)

Aufgabe P.1.2(a) : Für gerades n

>    Limit(3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity)=
limit(3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity);

Limit(3*n/(n+1)-n/(1-n),n = infinity) = 4

und für ungerades n ergibt sich der gleiche Grenzwert,

>    Limit((12*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity)=
limit((12*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity);

Limit((12*n^2+2*sin(n))/(3*n+2)/(n-1),n = infinity) = 4

also hat die gesamte Folge diesen Grenzwert 4.

Aufgabe P.1.2(b) : mit L'Hospital erhält man

>    Limit((x^3+2*x^4)/((1-cos(x))*sin(x)),x=0)=
limit((x^3+2*x^4)/((1-cos(x))*sin(x)),x=0);

Limit((x^3+2*x^4)/(1-cos(x))/sin(x),x = 0) = 2

Aufgabe P.1.2(c) : Ersetzt man in (a) 12 durch 21, so wird der Grenzwert für ungerades n zu 7, denn

>    Limit((21*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity)=
limit((21*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity);

Limit((21*n^2+2*sin(n))/(3*n+2)/(n-1),n = infinity) = 7

also hat die gesamte Folge (gerades UND ungerades n) keinen  Grenzwert

Aufgabe P.1.3 (Taylor)

Aufgabe P.1.3(a) :

>    f:=x->exp((x^2+1)/4);

>    T:=unapply(convert(taylor(f(x),x,3),polynom),x);

f := proc (x) options operator, arrow; exp(1/4*x^2+1/4) end proc

T := proc (x) options operator, arrow; exp(1/4)+1/4*exp(1/4)*x^2 end proc

Aufgabe P.1.3.(b) : Restgliedabschätzung

>    diff(f(x),x$3);

3/4*x*exp(1/4*x^2+1/4)+1/8*x^3*exp(1/4*x^2+1/4)

>    r:= unapply(%,x);
Rmax:=x->r(x)/6*x^3;   # Max bei theta=1, weil monoton wachsend, Min bei 0

r := proc (x) options operator, arrow; 3/4*x*exp(1/4*x^2+1/4)+1/8*x^3*exp(1/4*x^2+1/4) end proc

Rmax := proc (x) options operator, arrow; 1/6*r(x)*x^3 end proc

(Die allgemeine Formel für Restglied enthält statt r(x) zunächst r(0+theta*(x-0)) , aber da r monoton wachsend ist, ist der Maximalwert Rmax des Restgliedes an der Stelle theta = 1 .)

>    plot({Rmax(x),f(x)-t(x)},x=0..0.4);
printf("Bei x=0.4: Fehlerintervall ist [0,%f], wahrer Fehler ist %f, liegt also im Fehlerintervall",Rmax(0.4),f(0.4)-t(0.4));

[Maple Plot]

Bei x=0.4: Fehlerintervall ist [0,0.004391], wahrer Fehler ist 0.001041

Probe: Der wahre Fehler liegt im Intervall der Restgliedabschätzung, also ist Fehlerabschätzung plausibel!

Aufgabe P.1.4 (Integrale)

Aufgabe P.1.4.(a)

>          Int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2)=
     (int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2)=
evalf(int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2)));

Int(x*exp(1/4*x^2+1/4),x = 0 .. 2) = (-2*exp(1/4)+2*exp(5/4) = 4.412635080)

Aufgabe P.1.4.(b)

>          Int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2)=
     (int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2)=
evalf(int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2)));

Int(exp(1/4)*(1+1/4*x^2),x = -1 .. 2) = (15/4*exp(1/4) = 4.815095314)

>