Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/07/2006
Probeklausur 1c - 13.03.2006
Aufgabe P.1.1 (Definitionsbereich)
Aufgabe P.1.1(a): D = Menge aller x aus R, für die gilt: (
oder
) und
und
.
Aufgabe P.1.1(b): D = Menge aller x aus R, die in einem der Intervall ]
,
[ liegen, wobei n aus Z kommt.
Aufgabe P.1.2 (Grenzwerte)
Aufgabe P.1.2(a) : Für gerades n
> | Limit(3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity)= limit(3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity); |
und für ungerades n ergibt sich der gleiche Grenzwert,
> | Limit((12*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity)= limit((12*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity); |
also hat die gesamte Folge diesen Grenzwert 4.
Aufgabe P.1.2(b) : mit L'Hospital erhält man
> | Limit((x^3+2*x^4)/((1-cos(x))*sin(x)),x=0)= limit((x^3+2*x^4)/((1-cos(x))*sin(x)),x=0); |
Aufgabe P.1.2(c) : Ersetzt man in (a) 12 durch 21, so wird der Grenzwert für ungerades n zu 7, denn
> | Limit((21*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity)= limit((21*n^2+2*sin(n))/((3*n+2)*(n-1)),n=infinity); |
also hat die gesamte Folge (gerades UND ungerades n) keinen Grenzwert
Aufgabe P.1.3 (Taylor)
Aufgabe P.1.3(a) :
> | f:=x->exp((x^2+1)/4); |
> | T:=unapply(convert(taylor(f(x),x,3),polynom),x); |
Aufgabe P.1.3.(b) : Restgliedabschätzung
> | diff(f(x),x$3); |
> | r:= unapply(%,x); Rmax:=x->r(x)/6*x^3; # Max bei theta=1, weil monoton wachsend, Min bei 0 |
(Die allgemeine Formel für Restglied enthält statt r(x) zunächst
, aber da r monoton wachsend ist, ist der Maximalwert Rmax des Restgliedes an der Stelle
.)
> | plot({Rmax(x),f(x)-t(x)},x=0..0.4); printf("Bei x=0.4: Fehlerintervall ist [0,%f], wahrer Fehler ist %f, liegt also im Fehlerintervall",Rmax(0.4),f(0.4)-t(0.4)); |
Bei x=0.4: Fehlerintervall ist [0,0.004391], wahrer Fehler ist 0.001041
Probe: Der wahre Fehler liegt im Intervall der Restgliedabschätzung, also ist Fehlerabschätzung plausibel!
Aufgabe P.1.4 (Integrale)
Aufgabe P.1.4.(a)
> | Int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2)= (int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2)= evalf(int(x*exp((x^2+1)/4),x=0..2))); |
Aufgabe P.1.4.(b)
> | Int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2)= (int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2)= evalf(int(exp(1/4)*(1+x^2/4),x=-1..2))); |
> |