Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/08/2006

Probeklausur 1d - 10.07.2006

Aufgabe 1 (Grenzwert)

Zunächst ist es sinnvoll, den Limes separat auf jeden Bruch anzuwenden. Der erste Bruch hat - via L'Hospital, es liegt 0/0-Situation vor - den Grenzwert 2. Im 2. Bruch geht -ln(x) gegen + infinity , also geht der 2. Bruch gegen Null, also insgesamt auch Null:

limit(sin(2*x)/x,x = 0)*limit(1/(1+sqrt(1-ln(x))),x = 0)

=

2/(1+sqrt(1-(-infinity))) = 2/(1+infinity)

=

2/infinity = 0

Maple errechnet dies ebenfalls:

>    Limit(sin(2*x)/x*1/(1+sqrt(1-ln(x))),x=0)=limit(sin(2*x)/x*1/(1+sqrt(1-ln(x))),x=0);

Limit(sin(2*x)/x/(1+(1-ln(x))^(1/2)),x = 0) = 0

In der Klausur ist es zur Kontrolle gut, das Ergebnis auch zu überprüfen, nämlich indem man einen sehr kleinen Wert im Taschenrechner für x einsetzt (z.B. 1e-160) und schaut, was der Taschenrechner ausgibt:

>    x:=1e-160;evalf(sin(2*x)/x*1/(1-sqrt(1-ln(x))));

x := .1e-159

-.1097686668

Aufgabe 2 (Determinante)

Aufgabe K1.2a: Der Betrag der Determinante von A ist das Volumen des durch die drei Spaltenvektoren aufgespannten Körpers.
(auch richtig, aber in Klausur nicht gefordert: det(A) wird genau dann zu Null, wenn ein lineare Abhängigkeit zwischen den Spaltenvektoren besteht)

Aufgabe K1.2b: Man beachte, dass nach dem Betrag  der Determinante gefragt war, nicht nur nach ihrem Wert

>    with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>    x:='x':
A:=matrix(3,3,[[-1,0,1-x^2],[0,1,0],[1,0,-x^2]]);
detA:=abs(det(A));

A := matrix([[-1, 0, 1-x^2], [0, 1, 0], [1, 0, -x^2]])

detA := abs(2*x^2-1)

detA wird minimal, wenn das Argument im Betrag zu Null wird, wie man auch leicht aus einer graphischen Darstellung dieser Funktion sieht:

>    plot(detA,x=-2..2);

[Maple Plot]

Wir finden also die Minima durch Nullsetzen von detA:

>    solve(detA=0,x);

1/2*2^(1/2), -1/2*2^(1/2)

Für x = 1/sqrt(2)  oder x = -1/sqrt(2)  nimmt |det(A)| den minimalen Wert 0 an.

Aufgabe K1.2(c): Der 1. und der 3. Spaltenvektor stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt zu Null wird. Dieses errechnet sich zu:

>    a1:=vector([-1,0,1]):
a3:=vector([1-x^2,0,-x^2]):
skalarprodukt:=evalm(a1 &* a3);

skalarprodukt := -1

Da das Skalarprodukt unabhängig von x immer -1 ist, stehen a1 und a3 NIE senkrecht aufeinander.

Aufgabe 3 (Taylor)

Aufgabe K1.3(a)

>    x:='x':
sol1:=expand(simplify(diff(sin(sqrt(3*x))/x^2,x)),x);

sol1 := 1/2*cos(3^(1/2)*x^(1/2))*3^(1/2)/x^(5/2)-2*sin(3^(1/2)*x^(1/2))/x^3

Aufgabe K1.3(b)

>    f:=x->ln(x^2)+3*(x-2)^2;

f := x -> ln(x^2)+3*(x-2)^2

>    T:=unapply(convert(taylor(f(x),x=1,5),polynom),x);

T := x -> 7-4*x+2*(x-1)^2+2/3*(x-1)^3-1/2*(x-1)^4

Aufgabe 4 (Lineare Algebra)

Aufgabe K1.4 (a): Der Lösungsvektor x hat 3 Zeilen und 1 Spalte.

>    A:=matrix(4,3,[[0,3,9],[2,-1,4],[4,-1,-1],[6,-1,-6]]);
b:=vector([-1,1,1,1]);

A := matrix([[0, 3, 9], [2, -1, 4], [4, -1, -1], [6, -1, -6]])

b := vector([-1, 1, 1, 1])

Aufgabe K1.4 (b)

>    with(linalg): x:='x': x:=linsolve(A,b);

x := vector([5/36, -1/2, 1/18])

Die Probe stimmt:

>    multiply(A,x)=evalm(b);

vector([-1, 1, 1, 1]) = vector([-1, 1, 1, 1])