Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/10/2006

Probeklausur 1e - 25.09.2006

Aufgabe 1 (Summen)

1.1(a) Die Summe ist 0, weil die Summe über i 0 ist

1.1(b) [Hinweis: Summen auf die einzelnen Terme 'durchziehen'. sum(n,n=0..39) ist 20*39=780, denn 0+39=1+38=...19+20=39]

>    sum(sum(m*n-2*m-4,n=0..39),m=2..6);

13200

Aufgabe 2 (Funktionen und Grenzwerte)

1.2(a): Von den beiden Lösungen sqrt(20)  und -sqrt(20)  kommt nur sqrt(20)  in Frage, weil man -sqrt(20)  nicht in sqrt(x+2)  einsetzen kann. Dies findet Maple ebenso:

>    solve(sqrt(x+2)-sqrt(x-2)=(x-2)/sqrt(x+2));

2*5^(1/2)

1.2(b): Man muss sqrt(x)  ausklammern und kürzen, dann den Limes in jeden Term hineinziehen:

limit((sqrt(x+2)-2*sqrt(x-2))/(4*sqrt(x+2)),x = infinity) = limit((sqrt(1+2/x)-2*sqrt(1-2/x))/(4*sqrt(1+2/x)) = (1-2)/4,x = infinity)

>    limit((sqrt(x+2)-2*sqrt(x-2))/(4*sqrt(x+2)),x=infinity);

-1/4

Aufgabe 3 (Taylor)

1.3(a)

>    f:=x->x^3-3*x^2+sin(3*Pi*x);

f := x -> x^3-3*x^2+sin(3*Pi*x)

>    T:=unapply(convert(taylor(f(x),x=2,4),polynom),x);

T := x -> -4+3*Pi*(x-2)+3*(x-2)^2+(1-9/2*Pi^3)*(x-2)^3

1.3(b)

>    evalf(f(2.0));evalf(T(2.0));

-4.000

-4.

>    evalf(f(2.1));evalf(T(2.1));

-3.159983004

-3.166050449

Aufgabe 4 (Lineare Algebra)

>    with(linalg): 

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>    A:=matrix(3,3,[[1,-2,-4],[0,-4,1],[1,-6,lambda]]);
b:=vector([1,0,1]);

A := matrix([[1, -2, -4], [0, -4, 1], [1, -6, lambda]])

b := vector([1, 0, 1])

Aufgabe 1.4 (a): keine eindeutige Lösung, wenn det(A)=0

>    solve(det(A)=0);

-3

Aufgabe 1.4 (b): Lösung für lambda <> -3 :

>    x:='x': x:=linsolve(A,b);

x := vector([1, 0, 0])

Lösung für lambda = -3 :

>    Am3:=matrix(3,3,[[1,-2,-4],[0,-4,1],[1,-6,-3]]);
x:='x': x:=linsolve(Am3,b);

Am3 := matrix([[1, -2, -4], [0, -4, 1], [1, -6, -3]])

x := vector([1+18*_t[1], _t[1], 4*_t[1]])

Aufgabe 1.4(c): Zu fordern ist _t1 = 1/4, also ist (x_1, x_2, x_3) = (11/2, 1/4, 1)  eine Lösung.

Die Probe stimmt:

>    xc:=vector([11/2,1/4,1]):
multiply(Am3,xc)=evalm(b);

vector([1, 0, 1]) = vector([1, 0, 1])