Aufgabe 1: Zahlen, (Un-)Gleichungen
a) Man nutzt die Identität 2^567 = und liest aus dem Exponenten die Stellen ab. Die Anzahl der Stellen ist (ceil(x) ist die nächste ganze Zahl größer als x):
> | evalf(ceil(log[10](2)*567)); |
> | evalf(ceil(log[10](3)*1000)); |
b)
> | solve(50=1/(1-exp(T/100)),T);evalf(%); |
c) Handschriflich erhält man durch Auflösen x^2-4x+3<0, also (x-1)(x-3)<0, dies ist eine nach oben geöffnete Parabel, die zwischen ihren Nullstellen 1 und 3 kleiner als 0 wird:
> | solve({x^2-9>(2*x+2)*(x-3)}); |
Aufgabe 2: Modulare Arithmetik
(a)
> | (13+x*17=0) mod 4; |
Dies ist in den Ziffern 0,...,9 für
x=3
und für
x=7
erfüllt.
(b)
> | ISBN:="7-3215-4181-p"; 10*7+9*3+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*1+p; (10*7+9*3+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*1+p=0) mod 11; |
Also ist p=9 die richtige Antwort.
(c): Kein Fehler für
> | 10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9; (10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9=0) mod 11; |
und dies ist nur für z=6 der Fall (!). Probe:
> | for z from 0 to 9 do print(z, (10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9) mod 11); od; |
> |
Aufgabe 3 Taylor mit Restglied
(a)
> | f:=x->cos(x^2/4); |
> | T:=unapply(convert(taylor(f(x),x=2,3),polynom),x);evalf(t(x)); |
(b) Restgliedabschätzung:
> | diff(f(x),x$3); |
Wir ersetzen jetzt den Sinus durch 1 (größer kann der 1. Term für positive x nicht werden) und den Cosinus durch -1 (größer kann der 2. Term für positive x nicht werden) und erhalten so eine obere Schranke C für den Absolutbetrag der 3. Ableitung von f(x):
> | C:=x->3*x/4+x^3/8; # in [1.5,2.0] ist Max bei x=2.0, weil monoton wachsend C(2)=C(2.0); |
> | R3:=x->C(2.0)/(1*2*3)*abs((x-2)^3): plot({R3(x),f(x)-T(x),f(x),T(x)},x=1.5..2.0); printf("Bei x=1.5: Restglied liefert ''Fehler < %f'', der wahre Fehler ist %f",R3(1.5),abs(f(1.5)-T(1.5))); (Der wahre Fehler ebenso wie der Plot gehören nicht mehr zur Klausuraufgabe.) |
Bei x=1.5: Restglied liefert ''Fehler < 0.052083'', der wahre Fehler ist 0.005016
> | f(1.5);evalf(T(1.5)); |
Aufgabe 4 (Lineare Algebra)
Aufgabe 4(a)
> | with(LinearAlgebra): |
> | Ab := Matrix(4,4,[[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,lambda,1],[2,0,-10,2]]); |
> | D1:=GaussianElimination(Ab); |
Für
ist die 3. Zeile eine (0*x3=0)-Gleichung, es gibt also unendlich viele Lösungen.
Für alle anderen
gibt es genau eine Lösung, nämlich [1,0,0].
Aufgabe 4(b)
Wir spezialisieren nachfolgend auf den Fall und suchen eine Lösung mit x1=5:
> | Ab := Matrix(4,4,[[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,-1,1],[2,0,-10,2]]): D2:=ReducedRowEchelonForm(Ab); |
Wir können daraus die gesuchte Lösung ablesen.
Oder wir können die Lösung durch Maple ausrechnen lassen, indem wir die Gleichung x1=5 als erste Gleichung hinzufügen:
> | Ab := Matrix(5,4,[[1,0,0,5],[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,-1,1],[2,0,-10,2]]): x:=LinearSolve(Ab); |
Probe stimmt:
> | A := Matrix(4,3,[[0,4, 2],[1,2,-4],[1,8,-1],[2,0,-10]]): b := Matrix(4,1,[[0],[1],[1],[2]]): A.'x'=b; A.x=b; |
> |
Maple
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