Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/08/2006

Probeklausur 2d - 10.07.2006

Aufgabe 5 (Extremwerte)

Nullstellen der 1. partielle Ableitung E nach b: -20*(b-1)+40/((b-1)^2) = 0  suchen: ACHTUNG: hier NICHT (b-1) ausmultiplizieren >> führt auf schwer lösbare kubische Gleichung, sondern mit (b-1) weiterrechnen: 20*(b-1)^3 = 40 , also b-1 = 2^(1/3) .

Nullstellen der 1. partielle Ableitung E nach w: 180*w-60*w^2 = 0  , sind w=0 oder w=3.
Über det(Hessematrix) und 2. partielle Ableitung E_bb >0 zeigt man, dass nur (
b = 1+2^(1/3)  , w=3 ) ein Maximum ist.

Lösung mit Maple:

>    E:=(b,w)->200-10*(b-1)^2-40/(b-1)+90*w^2-20*w^3;

E := proc (b, w) options operator, arrow; 200-10*(b-1)^2-40/(b-1)+90*w^2-20*w^3 end proc

>    maximize(E(b,w),b=1..infinity, w=0..infinity,location);

470-30*2^(2/3), {[{w = 3, b = 2^(1/3)+1}, 470-30*2^(2/3)]}

>    E(2^(1/3)+1,3)=evalf(E(2^(1/3)+1,3));

470-30*2^(2/3) = 422.3779684

Der optimale Gewinn E = 422.377 EUR wird bei Bierpreis b= 1+2^(1/3) = 2.259  EUR und Weinpreis w=3 EUR erzielt


Nur zur Visualisierung, war in Klausur nicht erforderlich:

>    plot(200-10*(b-1)^2-40/(b-1),b=1.05..10);

[Maple Plot]

>    plot(90*w^2-20*w^3,w=0..4);

[Maple Plot]

>    plot3d(E(b,w),b=1..5,w=0..5,axes=BOXED);

[Maple Plot]

Aufgabe 6 (Graphen)

Aufgabe 6(a)

Baum: kreisfreier, zusammenhängender Graph. Oder Baum: Jeder Knoten mit jedem anderen durch genau einen Weg verbunden.

Binärer Suchbaum: Jeder Knoten hat höchstens zwei Nachfolger. Für jeden Knoten x gilt: Alle Knoten y mit y<x liegen im linken Teilbaum von x. Alle Knoten mit x<y liegen im rechten Teilbaum von x.

Länge des Wurzelbaumes: Länge (Anzahl der Kanten) des längsten Weges von der Wurzel zu irgendeinem Knoten

Aufgabe 6(b): Bei kompaktester Packung ist die Mindestlänge L=int(ld(n+1)), also bis 3 Knoten L=1, bis 7 Knoten L=2, bis15 Knoten ist L=3. Für n=14 ist also L=3.

Aufgabe 6(c): Jeder der 6 Knoten ist mit 5 Kanten zu all seinen Nachbarn zu verbinden. Da jede Kante zweifach genutzt wird ist Kantenzahl K=6*5/2. Allgemein ist K=n(n-1)/2.

Aufgabe 7 (Kombinatorik)

Aufgabe 7(a):

4 A's: Anzahl z1 der Möglichkeiten mit 4 A's, 2 B's, 1 C: Die drei Binomialfaktoren zählen die Möglichkeiten für die A-Positionen (4 aus 7), die Möglichkeiten für die B-Positionen (2 aus den restlichen 7-4) und die für die C-Position (nur 1 verbleibende Möglichkeit). Dies ist zu multiplizieren mit den möglichen A-Wörtern auf diesen Positionen (26^4), den B-Wörtern auf diesen Positionen (10^2) und den C-Wörtern (7^1)

>    z1:=binomial(7,4)*binomial(7-4,2)*binomial(1,1)*26^4*10^2*7^1;

z1 := 33587736000

3 B's: Anzahl z2 der Möglichkeiten mit 3 A's, 3 B's, 1 C:

>    z2:=binomial(7,3)*binomial(7-3,3)*binomial(1,1)*26^3*10^3*7^1;

z2 := 17224480000

2 C's: Anzahl z3 der Möglichkeiten mit 3 A's, 2 B's, 2 C's:

>    z3:=binomial(7,3)*binomial(7-3,2)*binomial(2,2)*26^3*10^2*7^2;

z3 := 18085704000

Gesamtzahl Passwörter der Länge 7:

>    zP:=z1+z2+z3;

zP := 68897920000

Aufgabe 7(b): Anzahl der 7-Zeichen-Kleinbuchstaben-Wörter. Die Anzahl zP der Passwörter Länge 7 ist um Faktor 8.578 größer:

>    zK:=26^7;evalf(zP/zK);

zK := 8031810176

8.578131018

Aufgabe 7(c): Laplace'scher Spezialfall: alle Elementarereignisse (User wählt Passwort) gleichwahrscheinlich

>    p:=10000./zP;

p := .1451422626e-6

Die Wahrscheinlichkeit, das Passwort so zu knacken, ist also ziemlich gering.

Aufgabe 8 (Differentialgleichung)

Die DGL hat die Ordnung 2, sie ist explizit (nach höchster Ordnung aufgelöst), sie ist linear und sie ist inhomogen (es gibt Term 2t in dem s(t) nicht auftaucht)

>    dsolve(diff(s(t),t$2)=2*t);

s(t) = 1/3*t^3+_C1*t+_C2

... ist die allgemeine Lsg der DGL

>    dsolve({diff(s(t),t$2)=2*t,s(0)=5,D(s)(0)=3});

s(t) = 1/3*t^3+3*t+5

... ist die explizite Lsg zu den geg. Anfangsbedingungen

>