Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/08/2006
Probeklausur 2d - 10.07.2006
Aufgabe 5 (Extremwerte)
Nullstellen der 1. partielle Ableitung E nach b:
suchen: ACHTUNG: hier NICHT (b-1) ausmultiplizieren >> führt auf schwer lösbare kubische Gleichung, sondern mit (b-1) weiterrechnen:
, also
.
Nullstellen der 1. partielle Ableitung E nach w:
, sind w=0 oder w=3.
Über det(Hessematrix) und 2. partielle Ableitung E_bb >0 zeigt man, dass nur (
, w=3 ) ein Maximum ist.
Lösung mit Maple:
> | E:=(b,w)->200-10*(b-1)^2-40/(b-1)+90*w^2-20*w^3; |
> | maximize(E(b,w),b=1..infinity, w=0..infinity,location); |
> | E(2^(1/3)+1,3)=evalf(E(2^(1/3)+1,3)); |
Der optimale Gewinn E = 422.377 EUR wird bei Bierpreis b=
EUR und Weinpreis w=3 EUR erzielt
Nur zur Visualisierung, war in Klausur nicht erforderlich:
> | plot(200-10*(b-1)^2-40/(b-1),b=1.05..10); |
> | plot(90*w^2-20*w^3,w=0..4); |
> | plot3d(E(b,w),b=1..5,w=0..5,axes=BOXED); |
Aufgabe 6 (Graphen)
Aufgabe 6(a)
Baum: kreisfreier, zusammenhängender Graph. Oder Baum: Jeder Knoten mit jedem anderen durch genau einen Weg verbunden.
Binärer Suchbaum: Jeder Knoten hat höchstens zwei Nachfolger. Für jeden Knoten x gilt: Alle Knoten y mit y<x liegen im linken Teilbaum von x. Alle Knoten mit x<y liegen im rechten Teilbaum von x.
Länge des Wurzelbaumes: Länge (Anzahl der Kanten) des längsten Weges von der Wurzel zu irgendeinem Knoten
Aufgabe 6(b): Bei kompaktester Packung ist die Mindestlänge L=int(ld(n+1)), also bis 3 Knoten L=1, bis 7 Knoten L=2, bis15 Knoten ist L=3. Für n=14 ist also L=3.
Aufgabe 6(c): Jeder der 6 Knoten ist mit 5 Kanten zu all seinen Nachbarn zu verbinden. Da jede Kante zweifach genutzt wird ist Kantenzahl K=6*5/2. Allgemein ist K=n(n-1)/2.
Aufgabe 7 (Kombinatorik)
Aufgabe 7(a):
4 A's: Anzahl z1 der Möglichkeiten mit 4 A's, 2 B's, 1 C: Die drei Binomialfaktoren zählen die Möglichkeiten für die A-Positionen (4 aus 7), die Möglichkeiten für die B-Positionen (2 aus den restlichen 7-4) und die für die C-Position (nur 1 verbleibende Möglichkeit). Dies ist zu multiplizieren mit den möglichen A-Wörtern auf diesen Positionen (26^4), den B-Wörtern auf diesen Positionen (10^2) und den C-Wörtern (7^1)
> | z1:=binomial(7,4)*binomial(7-4,2)*binomial(1,1)*26^4*10^2*7^1; |
3 B's: Anzahl z2 der Möglichkeiten mit 3 A's, 3 B's, 1 C:
> | z2:=binomial(7,3)*binomial(7-3,3)*binomial(1,1)*26^3*10^3*7^1; |
2 C's: Anzahl z3 der Möglichkeiten mit 3 A's, 2 B's, 2 C's:
> | z3:=binomial(7,3)*binomial(7-3,2)*binomial(2,2)*26^3*10^2*7^2; |
Gesamtzahl Passwörter der Länge 7:
> | zP:=z1+z2+z3; |
Aufgabe 7(b): Anzahl der 7-Zeichen-Kleinbuchstaben-Wörter. Die Anzahl zP der Passwörter Länge 7 ist um Faktor 8.578 größer:
> | zK:=26^7;evalf(zP/zK); |
Aufgabe 7(c): Laplace'scher Spezialfall: alle Elementarereignisse (User wählt Passwort) gleichwahrscheinlich
> | p:=10000./zP; |
Die Wahrscheinlichkeit, das Passwort so zu knacken, ist also ziemlich gering.
Aufgabe 8 (Differentialgleichung)
Die DGL hat die Ordnung 2, sie ist explizit (nach höchster Ordnung aufgelöst), sie ist linear und sie ist inhomogen (es gibt Term 2t in dem s(t) nicht auftaucht)
> | dsolve(diff(s(t),t$2)=2*t); |
... ist die allgemeine Lsg der DGL
> | dsolve({diff(s(t),t$2)=2*t,s(0)=5,D(s)(0)=3}); |
... ist die explizite Lsg zu den geg. Anfangsbedingungen
> |