Aufgabe 5 Extremwerte
> | restart: with(plots): with(Optimization): |
> | G:= (a,h)->2*a*h/3+6-(a-2)^3/3-(h-10)^2/2; Maximize(G(a,h)); |
Wir vollziehen diese numerische Maple-Lösung nun schrittweise nach:
> | G_a:=diff(G(a,h),a); G_h:=diff(G(a,h),h); solve({G_a=0,G_h=0.},{a,h}); # mit '0.' sehen wir die numerischen Lösungen solve(a=9*(a-2)^2/4-15); # hier sehen wir die symbolischen Lösungen für a |
> | G_aa:=diff(G_a,a); G_hh:=diff(G_h,h); G_ah:=diff(G_a,h); Delta:=G_aa*G_hh-G_ah^2; solve({Delta>0.}); |
Also muss a>2.222 gelten, um eine Extremallösung zu haben. Deshalb kommt die 2. Lösung von solve({G_a=0,G_h=0.},{a,h}); nicht in Frage, es bleibt nur die
Lösung {a=4.9799, h=13.3199}
, und diese ist auch ein Maximum, weil G_hh=-1<0.
> | Del:=unapply(Delta,a); Del(4.9799); Del(-0.5354); |
Dieser Teil gehört nicht mehr zur Klausuraufgabe, nur zur Visualisierung der Resultate
> | plot3d(G(a,h),a=0..15,h=0.1..25,axes=boxed); |
> | contourplot(G(a,h),a=0..10,h=0.1..25,axes=boxed,contours=100); |
Aufgabe 6 (Statistik)
(a): Das Passwort enthält entweder 4 A's oder 3 B's
4 A's: Anzahl z1 der Möglichkeiten mit 4 A's, 2 B's: Die zwei Binomialfaktoren zählen die Möglichkeiten für die A-Positionen (4 aus 6), die Möglichkeiten für die B-Positionen (2 aus den restlichen 2) und die für die C-Position (nur 1 verbleibende Möglichkeit). Dies ist zu multiplizieren mit den möglichen A-Wörtern auf diesen Positionen (26^4), den B-Wörtern auf diesen Positionen (10^2)
> | z1:=binomial(6,4)*binomial(2,2)*26^4*10^2; |
3 B's: Anzahl z2 der Möglichkeiten mit 3 A's, 3 B's:
> | z2:=binomial(6,3)*binomial(6-3,3)*26^3*10^3; |
Gesamtzahl Passwörter der Länge 6:
> | zP:=z1+z2; |
und dies ist größer als eine Milliarde.
(b): zK: Anzahl der 6-Zeichen-Kleinbuchstaben-Wörter. Die Anzahl zP der Passwörter Länge 6 nach (a) ist um Faktor 3.356 größer:
> | zK:=26^6;evalf(zP/zK); |
Die erste Passwortklasse ist also sicherer, weil sie um den Faktor 3 mehr Elemente hat. - Und dies obwohl die Klasse B weniger Zeichen als die Klasse A enthält! Aber das Produkt aus Stellungs-Kombinationen*Zeichenvorrat ist jeweils größer, denn binomial(6,4)*100 > 26^2 und binomial(6,3)*1000>26^3.
Aufgabe 6(c): Laplace'scher Spezialfall: alle Elementarereignisse (Hacker wählt zufälliges Passwort, Ereignis A: Hacker-Passwort = User-Passwort) sind gleichwahrscheinlich. Deshalb ist bei einem Knack-Versuch die Wahrsch. 1/zP, bei 10.000 Knack-Versuchen eben 10000/zP:
> | p:=10000./zP; |
Die Wahrscheinlichkeit, das Passwort so zu knacken, ist also ziemlich gering.
Aufgabe 7 (Graphen / komplexe Zahlen)
(a)
Baum: kreisfreier, zusammenhängender Graph. Oder: Graph, in dem zwischen je 2 Knoten genau 1 Weg existiert.
Wurzelbaum W: gerichteter Baum-Graph, in dem alle Pfeile vom wurzelnäheren zum wurzelferneren Knoten zeigen.
Länge Wurzelbaum W: Länge (also Anzahl Kanten) des längsten Weges in W.
(b) (L_3 zeigt man durch Aufmalen, L_4 folgt dann durch Analogie)
L_3 = 2^1+2^2+2^3 = 2^4-2 = 14
L_4 = 2^1+2^2+2^3+2^4 = 2^5-2 = 30
L_N= 2^2+...+2^N = 2^(N+1) - 2
(c)
siehe Vorlesungsskript
(d)
> | z:=(4-3*I)/(2+4*I)+3*I; |
> | Im(z); |
Aufgabe 8 (DGL)
Die DGL hat die Ordnung 1 (höchste Ableitung ist y'(x), sie ist implizit (nicht nach höchster Ordnung aufgelöst)(sie könnte aber leicht durch Umstellen nach höchster Ordnung aufgelöst werden), sie ist linear und sie ist inhomogen (es gibt den Term 6 in dem y(x) nicht auftaucht).
> | dsolve(diff(y(x),x)+2*y(x)=6); |
... ist die allgemeine Lsg der DGL
> | simplify(dsolve({diff(y(x),x)+2*y(x)=6,y(1)=9})); |
... ist die explizite Lsg zu den geg. Anfangsbedingungen
> | assign(%); |
> | plot(y(x),x=-0.1..3); |
> | y(0)=3+6.*exp(2.);eval(y(x),x=0.); |
> |