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JSFH
Shamir's Secret Sharing Algorithm
We want to share a secret in such a way that at least K=3 persons come together to reconstruct it, so we need polynoms of degree 2 (=3-1)
p:=101; # any prime number larger than the largest possible secret value
IiQsIg==
a0:=12; # the secret
IiM3
a1:=3; a2:=5; # random but fixed coefficients
IiIk
IiIm
x:=[1,2,3]; # random but fixed x-values
NyUiIiIiIiMiIiQ=
f:=[0,0,0];
for i from 1 to nops(x) do f[i]:=a0+a1*x[i]+a2*x[i]*x[i] mod p; od;
NyUiIiFGI0Yj
IiM/
IiNR
IiNt
The pieces (x[i],f[i]) are the shares of the secret and can be handed to different persons
Look whether we can reconstruct the secret if we have all pieces:
secret:=0:
for i from 1 to nops(x) do
s:=f[i]:
for j from 1 to nops(x) do
if (j<>i) then s:=modp(s*(-x[j]/(x[i]-x[j])),p): fi: # Lagrange interpolation formula
od:
secret := secret + s mod p:
od;
IiM/
IiNn
IiNR
IiNa
IiNt
IiM3
Which equations are possible to deduce if we do know f[2] and f[3], but do not know f[1] (=F1)?
secret:=0: F1:='F1':
for i from 1 to nops(x) do
if (i=1) then s:=F1; else s:=f[i]: fi:
for j from 1 to nops(x) do
if (j<>i) then s:=modp(s*(-x[j]/(x[i]-x[j])),p): fi: # Lagrange interpolation formula
od:
secret := secret + s mod p:
od;
LCRJI0YxRzYiIiIk
LCZJI0YxRzYiIiIkIiMpKSIiIg==
LCZJI0YxRzYiIiIkIiNgIiIi
So we know an equation connecting the unknown F1 and the unknown secret. Does it tell anything about the secret? Cut out coefficient c1=3 and c0=53 for later use:
c1:=op(1,op(1,secret));
c0:=op(2,secret);
IiIk
IiNg
S:=34; # try any number S (for secret) from Z_p
F1:=(S-c0)/c1 mod p; # '/c1' means: multiply with the (multiplicative) inverse of c1
if (S = F1*c1+c0 mod p) then print('true'); else print('false'); fi;
IiNN
IiNo
SSV0cnVlRyUqcHJvdGVjdGVkRw==
Try other numbers for S and see that the equation for F1 is solvable for any secret S \342\207\222 we do not know anything about the secret if person 1 is missing
The same thing done if we 'forget' mod p:
f:=[0,0,0,0];
for i from 1 to nops(x) do f[i]:=a0+a1*x[i]+a2*x[i]*x[i]; od;
NyYiIiFGI0YjRiM=
IiM/
IiNR
IiNt
secret:=0: F1:='F1':
for i from 1 to nops(x) do
if (i=1) then s:=F1; else s:=f[i]: fi:
for j from 1 to nops(x) do
if (j<>i) then s:=s*(-x[j]/(x[i]-x[j])): fi:
od:
secret := secret + s:
od;
LCRJI0YxRzYiIiIk
LCZJI0YxRzYiIiIkISQ5IiIiIg==
LCZJI0YxRzYiIiIkISNbIiIi
Since we know that by construction F1 must be integer and that 48 is divisible, we can immediately conclude that only secrets divisible by 3 are possible. This cuts the secret space by a factor of 3!
c1:=op(1,op(1,secret));
c0:=op(2,secret);
IiIk
ISNb
S:=35; # try any number S (for secret) from Z_p
F1:=(S-c0)/c1;
if (F1=trunc(F1)) then print('true'); else print('false'); fi;
IiNO
IyIjJCkiIiQ=
SSZmYWxzZUclKnByb3RlY3RlZEc=
So even if person 1 is missing, many numbers like S=35, -, 37, 38, -, 40, 41, ... can be excluded!
And things can get much worse if we choose other (random) numbers x[2] and x[3]. (Try e.g. x[2]=20 or 22, then it will become quite hard just by 'guessing' to find ANY number S which leads to an integer F1 >> see Exercise 1.)
Exercises :
Find out for x = [1,20,3] and the 'wrong' algorithm w/o mod p (and its corresponding f[1], f[2], f[3]): Which are some of the secret numbers S which remain possible when we know f[2] and f[3] ?
Try other ranges for the graph in the addendum and describe what you see.
Write a variant of this worksheet which performs the same analysis for K=4 persons.
Write a variant of this worksheet which performs the same analysis for K=2 persons.
Addendum:
How does a polynom of degree 2 "look like" in the "mod p"-world?
p:=1001;
IiUsNQ==
F:=seq([i,a0+a1*i+a2*i*i mod p], i=0..p-1):
i:='i': plot([F(i)],i=0..p-1,style=point);
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"%5")!""$"%Iw!""7$$"%?")!""$"%I()!""7$$"%I")!""$"%I**!""7$$"%S")!""$"%?7!""7$$"%]")!""$"%?E!""7$$"%g")!""$"%?T!""7$$"%q")!""$"%?d!""7$$"%!=)!""$"%?u!""7$$"%!>)!""$"%?#*!""7$$"%+#)!""$"%56!""7$$"%5#)!""$"%5J!""7$$"%?#)!""$"%5_!""7$$"%I#)!""$"%5u!""7$$"%S#)!""$"%5(*!""7$$"%]#)!""$"%+@!""7$$"%g#)!""$"%+Y!""7$$"%q#)!""$"%+s!""7$$"%!G)!""$"%+**!""7$$"%!H)!""$"%!p#!""7$$"%+$)!""$"%!f&!""7$$"%5$)!""$"%!f)!""7$$"%?$)!""$"%!o"!""7$$"%I$)!""$"%!)[!""7$$"%S$)!""$"%!=)!""7$$"%]$)!""$"%q:!""7$$"%g$)!""$"%q]!""7$$"%q$)!""$"%q')!""7$$"%!Q)!""$"%gB!""7$$"%!R)!""$"%gh!""7$$"%+%)!""$"#]!""7$$"%5%)!""$"%]S!""7$$"%?%)!""$"%]")!""7$$"%I%)!""$"%SB!""7$$"%S%)!""$"%Sm!""7$$"%]%)!""$"%I5!""7$$"%g%)!""$"%Ib!""7$$"%q%)!""$"$?"!""7$$"%![)!""$"%?[!""7$$"%!\)!""$"%?'*!""7$$"%+&)!""$"%5X!""7$$"%5&)!""$"%5&*!""7$$"%?&)!""$"%+Y!""7$$"%I&)!""$"%+)*!""7$$"%S&)!""$"%!4&!""7$$"%]&)!""$"$![!""7$$"%g&)!""$"%!)f!""7$$"%q&)!""$"%q:!""7$$"%!e)!""$"%qs!""7$$"%!f)!""$"%gI!""7$$"%+')!""$"%g*)!""7$$"%5')!""$"%]\!""7$$"%?')!""$"%S5!""7$$"%I')!""$"%Ss!""7$$"%S')!""$"%IN!""7$$"%]')!""$"%I**!""7$$"%g')!""$"%?k!""7$$"%q')!""$"%5I!""7$$"%!o)!""$"%5(*!""7$$"%!p)!""$"%+l!""7$$"%+()!""$"%!R$!""7$$"%5()!""$"$!Q!""7$$"%?()!""$"%![(!""7$$"%I()!""$"%qY!""7$$"%S()!""$"%g>!""7$$"%]()!""$"%g$*!""7$$"%g()!""$"%]o!""7$$"%q()!""$"%SW!""7$$"%!y)!""$"%I@!""7$$"%!z)!""$"%I**!""7$$"%+))!""$"%?y!""7$$"%5))!""$"%5e!""7$$"%?))!""$"%+R!""7$$"%I))!""$"%!4#!""7$$"%S))!""$"$!Q!""7$$"%]))!""$"%!y)!""7$$"%g))!""$"%qs!""7$$"%q))!""$"%ge!""7$$"%!)))!""$"%]X!""7$$"%!*))!""$"%SL!""7$$"%+*)!""$"%IA!""7$$"%5*)!""$"%?7!""7$$"%?*)!""$"$5$!""7$$"%I*)!""$"%5&*!""7$$"%S*)!""$"%+))!""7$$"%]*)!""$"%!>)!""7$$"%g*)!""$"%!o(!""7$$"%q*)!""$"%qs!""7$$"%!)*)!""$"%gp!""7$$"%!**)!""$"%]n!""7$$"%+!*!""$"%Sm!""7$$"%5!*!""$"%Im!""7$$"%?!*!""$"%?n!""7$$"%I!*!""$"%5p!""7$$"%S!*!""$"%+s!""7$$"%]!*!""$"%!f(!""7$$"%g!*!""$"%!3)!""7$$"%q!*!""$"%q')!""7$$"%!3*!""$"%g$*!""7$$"%!4*!""$"$S"!""7$$"%+"*!""$"%I5!""7$$"%5"*!""$"%??!""7$$"%?"*!""$"%5J!""7$$"%I"*!""$"%+V!""7$$"%S"*!""$"%!f&!""7$$"%]"*!""$"%!)p!""7$$"%g"*!""$"%q%)!""7$$"%q"*!""$"#]!""7$$"%!=*!""$"%S<!""7$$"%!>*!""$"%IN!""7$$"%+#*!""$"%?a!""7$$"%5#*!""$"%5u!""7$$"%?#*!""$"%+&*!""7$$"%I#*!""$"%!o"!""7$$"%S#*!""$"%qR!""7$$"%]#*!""$"%gj!""7$$"%g#*!""$"%]))!""7$$"%q#*!""$"%I9!""7$$"%!G*!""$"%?T!""7$$"%!H*!""$"%5p!""7$$"%+$*!""$"%+)*!""7$$"%5$*!""$"%!y#!""7$$"%?$*!""$"%qe!""7$$"%I$*!""$"%g!*!""7$$"%S$*!""$"%SB!""7$$"%]$*!""$"%Id!""7$$"%g$*!""$"%?#*!""7$$"%q$*!""$"%+G!""7$$"%!Q*!""$"%!\'!""7$$"%!R*!""$"$q#!""7$$"%+%*!""$"%gT!""7$$"%5%*!""$"%]")!""7$$"%?%*!""$"%IA!""7$$"%I%*!""$"%?k!""7$$"%S%*!""$"$+(!""7$$"%]%*!""$"%!4&!""7$$"%g%*!""$"%!e*!""7$$"%q%*!""$"%gT!""7$$"%![*!""$"%]))!""7$$"%!\*!""$"%IO!""7$$"%+&*!""$"%?&)!""7$$"%5&*!""$"%+N!""7$$"%?&*!""$"%!f)!""7$$"%I&*!""$"%qP!""7$$"%S&*!""$"%g!*!""7$$"%]&*!""$"%SW!""7$$"%g&*!""$"%I**!""7$$"%q&*!""$"%5b!""7$$"%!e*!""$"%!>"!""7$$"%!f*!""$"%!)p!""7$$"%+'*!""$"%gG!""7$$"%5'*!""$"%]))!""7$$"%?'*!""$"%I\!""7$$"%I'*!""$"%56!""7$$"%S'*!""$"%+u!""7$$"%]'*!""$"%!y$!""7$$"%g'*!""$"$g#!""7$$"%q'*!""$"%]o!""7$$"%!o*!""$"%IN!""7$$"%!p*!""$"$5$!""7$$"%+(*!""$"%+s!""7$$"%5(*!""$"%!=%!""7$$"%?(*!""$"%g7!""7$$"%I(*!""$"%]%)!""7$$"%S(*!""$"%Id!""7$$"%](*!""$"%5J!""7$$"%g(*!""$"$!f!""7$$"%q(*!""$"%!=)!""7$$"%!y*!""$"%ge!""7$$"%!z*!""$"%SO!""7$$"%+)*!""$"%?:!""7$$"%5)*!""$"%5&*!""7$$"%?)*!""$"%!f(!""7$$"%I)*!""$"%qd!""7$$"%S)*!""$"%]S!""7$$"%])*!""$"%IC!""7$$"%g)*!""$"$5*!""7$$"%q)*!""$"%+&*!""7$$"%!))*!""$"%!=)!""7$$"%!*)*!""$"%gp!""7$$"%+**!""$"%Se!""7$$"%5**!""$"%?[!""7$$"%?**!""$"%+R!""7$$"%I**!""$"%!3$!""7$$"%S**!""$"%gB!""7$$"%]**!""$"%S<!""7$$"%g**!""$"%?7!""7$$"%q**!""$"$+)!""7$$"%!)**!""$"$![!""7$$"%!***!""$"$g#!""7$$"&++"!""$"$S"!""-%&COLORG6&%$RGBG$"#5!""$""!!""$""!!""-%%VIEWG6$;$""!!""$"&++"!""%(DEFAULTG-%+AXESLABELSG6'-I#miG6#/I+modulenameG6"I,TypesettingGI(_syslibG6"65Q"i6"/%'familyGQ!6"/%%sizeGQ#106"/%%boldGQ&false6"/%'italicGQ%true6"/%*underlineGQ&false6"/%*subscriptGQ&false6"/%,superscriptGQ&false6"/%+foregroundGQ([0,0,0]6"/%+backgroundGQ.[255,255,255]6"/%'opaqueGQ&false6"/%+executableGQ&false6"/%)readonlyGQ&false6"/%)composedGQ&false6"/%*convertedGQ&false6"/%+imselectedGQ&false6"/%,placeholderGQ&false6"/%6selection-placeholderGQ&false6"/%,mathvariantGQ'italic6"Q!6"-%%FONTG6%%(DEFAULTG%(DEFAULTG"#5%+HORIZONTALG%+HORIZONTALG-%&STYLEG6#%&POINTG-%%ROOTG6'-%)BOUNDS_XG6#$"$?&!""-%)BOUNDS_YG6#$"#!)!""-%-BOUNDS_WIDTHG6#$"%qK!""-%.BOUNDS_HEIGHTG6#$"%!\$!""-%)CHILDRENG6"
So the picture is much more complicated than in the normal 'real' or 'integer' world. We see some structures reminiscent of parabolas (try also other ranges i=0..20, i=20..40 and so on and you will see also convex parabolas), but not ONE clear parabola. Yet - it is perfectly OK to calculate and interpolate with such parabolas - it is even reasonable because it provides information theoretic security !
A last remark: the polynom does not take every value in the range 0..p-1, as we see when we sort the complete table of polynomial values. Some are missing, other occur multiple times:
G:=[seq(a0+a1*i+a2*i*i mod p, i=0..p-1)]:
sort(G);
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