Lösung zu Klausur 09.07.2007
Aufgabe 1 (Gleichung)
Jedes
Definitionsbereich muss die Bedingungen:
,
erfüllen.Dies führt auf D=[4,8[.
> | (solve(sqrt(x-4)/sqrt(8-x)=1/sqrt(4*x-3),x)) ; evalf(%); |
> |
> | x1:=evalf(9./4+sqrt(65)/4); x2:=evalf(9./4-sqrt(65)/4); |
Die 2. Lösung liegt ausserhalb des Definitionsbereiches, sie kommt daher nicht in Frage. Es gilt also Lösungsmenge L={4.2655644}.
Bei der handschriftlichen Lösung muss man weiterhin noch die Probe machen, d.h. x1 und x2 in die Ausgangsgleichung einsetzen. Denn das Quadrieren (Wurzeln wegbekommen) ist eine "daraus-folgt"-Umformung, deshalb können nur die erhaltenen x1 und x2 Lösungen sein, müssen aber nicht.
Aufgabe 2 (Grenzwerte)
Aufgabe K1.2(a), (b)
> | limit(binomial(n,2)/(2*n^2-50)+3*n/(n+1)-n/(1-n),n=infinity); |
> | limit(ln(x^2)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0); |
Wenn man (b) von Hand rechnet, ist es WICHTIG, ERST die Termvereinfachung über ln(x^2) = 2 ln(x) anzuwenden und dann ln(x) zu kürzen (!!):
> | Limit(ln(x^2)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0)=Limit(2*ln(x)*sin(x)^2/((1-cos(x))*ln(x)),x=0);; |
Jetzt hat man einen Quotienten, dessen Zähler und Nenner recht einfach ist. Es liegt eine 0/0-Situation vor, weil 2sin(0)^2 = 0 und 1-cos(0)=0. Die Anwendung von L'Hospital ergibt
= 4
(Nachtrag aus der Klausurkorrektur 09.07.2007: Das Ableiten ohne ln-Kürzen (was viele in der Klausur gemacht haben) ist erstens viel zu aufwendig, zweitens führt es zu nichts und drittens liegt keine 0/0-Situation vor (wie viele schrieben!), weil ja
ist.)
Aufgabe 3 (Taylor)
> | taylor(ln(x^2)+3*(x-2)^2,x=1,5); |
Aufgabe 4 (Lineare Algebra)
Der Lösungsvektor x hat 3 Zeilen und 1 Spalte.
> | A:=matrix(4,3,[[0,3,9],[2,-1,4],[4,-1,-1],[6,-1,-6]]); b:=vector([-1,1,1,1]); |
Die Zwischenergebnisse / die Lösung x von Ax=b kann man aus der Gauss-Jordan-Elimination ablesen:
> | Ab:=matrix(4,4,[[0,3,9,-1],[2,-1,4,1],[4,-1,-1,1],[6,-1,-6,1]]); gausselim(Ab);gaussjord(Ab); |
Den Lösungsvektor x=[5/36; -1/2; 1/18] liest man aus der letzten Spalte ab.
Alternativ erhältn man ihn auch über linsolve:
> | with(linalg): x:='x': x:=linsolve(A,b); |
Die Probe stimmt:
> | multiply(A,x)=evalm(b); |
Aufgabe 5 (Gradient)
Der Gradient grad_E der Funktion E lautet:
> | E:=-(x-1)^2-4/(x-1)+9*y^2*cos(y)-2*y^3; |
> | x:='x': y:='y': E_x:=diff(E,x);E_y:=diff(E,y); |
Der Gradient bei (4,1) ist der Vektor der partiellen Ableitungen an der Stelle x=4, y=1 und zeigt in Richtung des steilsten Anstieges
> | gradE_0:=vector(2,[subs(x=4.,E_x),evalf(subs(y=1,E_y))]); |
Wir normieren den Gradienten auf Länge 1
> | gradE_0:=evalm(gradE_0/sqrt(gradE_0[1]^2+gradE_0[2]^2)); |
... und schreiten eine Einheit in Gegen richtung zu gradE_1 von (4,1) weg (steilster Abstieg):
> | punkt1:=evalm(vector(2,[4,1]) - gradE_0); |
Bei punkt1 ist der (neue) Gradient nun gegeben durch die partiellen Ableitungen an der neuen Stelle
> | gradE_1:=vector(2,[subs(x=4.822,E_x),evalf(subs(y=1.569,E_y))]); |
Wir normieren den Gradienten auf Länge 1
> | gradE_1:=evalm(gradE_1/sqrt(gradE_1[1]^2+gradE_1[2]^2)); |
... und schreiten eine Einheit in Gegen richtung zu gradE_1 von (4,1) weg (steilster Abstieg):
> | punkt2:=evalm(punkt1 + gradE_1); |
Der Punkt punkt2 stimmt deshalb nicht mit dem Ausgangspunkt überein, weil die Richtung des Gradienten im Punkt 1 anders ist als im Punkt (4,1)
Aufgabe 7 (Statistik)
Voraussetzung für Moivre-Laplace:
> | n:=182:p:=0.4: n*p>5; n*(1-p)>5; |
Daher ist eine gute Näherung für
die Größe
> | mu:=n*p; sigma:=sqrt(n*p*(1-p)); z:=(80-mu+0.5)/sigma; stats[statevalf,cdf,normald](z); |
D.h. unter den 182 Ehepaaren sind mit 87.8% Wahrscheinlichkeit höchstens 80 kinderlose.
(Mit Maple kann man auch die Probe machen und die Binomialverteilung ausrechnen (nicht klausurrelevant):
> | sum(stats[statevalf,pf,binomiald[182,0.4]](k),k=0..80); |
... also stimmt's)
Aufgabe 6 (Baum) + Aufgabe 8 (Fourier)
s. handschriftliche Aufzeichnungen in Probeklausur12g-lsg-hand.pdf
> |