Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/12/2005

Probeklausur 1b  - 01.07.2005

Aufgabe P.1.1 und P.1.2

Aufgabe P.1.1(a)

>    ungleichung:= ln(x)-2*ln(2-x)+ln(2*x)>ln(3);

ungleichung := ln(3) < ln(x)-2*ln(2-x)+ln(2*x)

Definitionsbereich

>    solve({x>0,2-x>0,2*x>0},x);

{x < 2, 0 < x}

Lösungsmenge:

>    solve(ungleichung);

RealRange(Open(6-2*6^(1/2)),Open(2))

Aufgabe P.1.2: Grenzwert:

>    limit(x*sin(x)/(1-cos(2*x)^2),x=0);

1/4

Aufgabe P.1.3 (Taylor)

Aufgabe P.1.3(a):

>    f:=x->sqrt(x-1);

f := proc (x) options operator, arrow; sqrt(x-1) end proc

>    plot(f(x),x=0..5);

[Maple Plot]

Aufgabe P.1.3.(b)

>    convert(taylor(f(x),x=5,4),polynom):
T:=unapply(%,x);

T := proc (x) options operator, arrow; 3/4+1/4*x-1/64*(x-5)^2+1/512*(x-5)^3 end proc

Aufgabe P1.3.(c)

>    diff(f(u),u$4):
r:=unapply(%,u);

r := proc (u) options operator, arrow; -15/16*1/((u-1)^(7/2)) end proc

Die Funktion r(u) hat für `in`(u,[5, 6])  ihren kleinsten Wert bei u=5 und ihren größten Wert bei u=6:

>    r(5.);r(6.);

-.7324218750e-2

-.3354101972e-2

Das Restglied lautet für die Stelle x0=5:

>    R:=(x,u)->r(u)*(x-5)^4/(1*2*3*4);

R := proc (x, u) options operator, arrow; 1/24*r(u)*(x-5)^4 end proc

und es hat für x=6. den Minimal- und Maximalwert

>    Rmin:=R(6.,5.); Rmax:=R(6.,6.);

Rmin := -.3051757812e-3

Rmax := -.1397542488e-3

Probe: Wenn alles richtig ist, muss f(6) - T(6) in den Schranken [Rmin,Rmax] des Restgliedes liegen:

>    f(6.)-T(6.);

-.260148e-3

Stimmt!

Aufgabe P.1.4 (Lineare Algebra)

Aufgabe P.1.4.(a)

>    with(linalg):vector

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>    A:=matrix(3,3,[[1, 2, 1],[3, 2, 6],[1, -2, 4]]);
b:=matrix(3,1,[1,5,3]);

A := matrix([[1, 2, 1], [3, 2, 6], [1, -2, 4]])

b := matrix([[1], [5], [3]])

>    t:='t';x:=linsolve(A,b);

t := 't'

x := matrix([[2-5/2*_t[1][1]], [-1/2+3/4*_t[1][1]], [_t[1][1]]])

Probe:

>    evalm(A &* x - b);

matrix([[0], [0], [0]])

Stimmt!

Aufgabe P.1.4.(b)

>    E:=Matrix(3,3,shape=identity);

E := Matrix(%id = 25002504)

>    det((A-E) &* (A-E));

169

>