Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/08/2006
Probeklausur 1d - 10.07.2006
Aufgabe 1 (Grenzwert)
Zunächst ist es sinnvoll, den Limes separat auf jeden Bruch anzuwenden. Der erste Bruch hat - via L'Hospital, es liegt 0/0-Situation vor - den Grenzwert 2. Im 2. Bruch geht -ln(x) gegen +
, also geht der 2. Bruch gegen Null, also insgesamt auch Null:
=
=
Maple errechnet dies ebenfalls:
> | Limit(sin(2*x)/x*1/(1+sqrt(1-ln(x))),x=0)=limit(sin(2*x)/x*1/(1+sqrt(1-ln(x))),x=0); |
In der Klausur ist es zur Kontrolle gut, das Ergebnis auch zu überprüfen, nämlich indem man einen sehr kleinen Wert im Taschenrechner für x einsetzt (z.B. 1e-160) und schaut, was der Taschenrechner ausgibt:
> | x:=1e-160;evalf(sin(2*x)/x*1/(1-sqrt(1-ln(x)))); |
Aufgabe 2 (Determinante)
Aufgabe K1.2a: Der Betrag der Determinante von A ist das Volumen des durch die drei Spaltenvektoren aufgespannten Körpers.
(auch richtig, aber in Klausur nicht gefordert: det(A) wird genau dann zu Null, wenn ein lineare Abhängigkeit zwischen den Spaltenvektoren besteht)
Aufgabe K1.2b: Man beachte, dass nach dem Betrag der Determinante gefragt war, nicht nur nach ihrem Wert
> | with(linalg): |
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> | x:='x': A:=matrix(3,3,[[-1,0,1-x^2],[0,1,0],[1,0,-x^2]]); detA:=abs(det(A)); |
detA wird minimal, wenn das Argument im Betrag zu Null wird, wie man auch leicht aus einer graphischen Darstellung dieser Funktion sieht:
> | plot(detA,x=-2..2); |
Wir finden also die Minima durch Nullsetzen von detA:
> | solve(detA=0,x); |
Für
oder
nimmt |det(A)| den minimalen Wert 0 an.
Aufgabe K1.2(c): Der 1. und der 3. Spaltenvektor stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt zu Null wird. Dieses errechnet sich zu:
> | a1:=vector([-1,0,1]): a3:=vector([1-x^2,0,-x^2]): skalarprodukt:=evalm(a1 &* a3); |
Da das Skalarprodukt unabhängig von x immer -1 ist, stehen a1 und a3 NIE senkrecht aufeinander.
Aufgabe 3 (Taylor)
Aufgabe K1.3(a)
> | x:='x': sol1:=expand(simplify(diff(sin(sqrt(3*x))/x^2,x)),x); |
Aufgabe K1.3(b)
> | f:=x->ln(x^2)+3*(x-2)^2; |
> | T:=unapply(convert(taylor(f(x),x=1,5),polynom),x); |
Aufgabe 4 (Lineare Algebra)
Aufgabe K1.4 (a): Der Lösungsvektor x hat 3 Zeilen und 1 Spalte.
> | A:=matrix(4,3,[[0,3,9],[2,-1,4],[4,-1,-1],[6,-1,-6]]); b:=vector([-1,1,1,1]); |
Aufgabe K1.4 (b)
> | with(linalg): x:='x': x:=linsolve(A,b); |
Die Probe stimmt:
> | multiply(A,x)=evalm(b); |