Aufgabe 1: Zahlen, (Un-)Gleichungen

a) Man nutzt die Identität 2^567 =  und liest aus dem Exponenten die Stellen ab. Die Anzahl der Stellen ist (ceil(x) ist die nächste ganze Zahl größer als x):

>    evalf(ceil(log[10](2)*567));

>    evalf(ceil(log[10](3)*1000));

b)

>    solve(50=1/(1-exp(T/100)),T);evalf(%);

c) Handschriflich erhält man durch Auflösen x^2-4x+3<0, also (x-1)(x-3)<0, dies ist eine nach oben geöffnete Parabel, die zwischen ihren Nullstellen 1 und 3 kleiner als 0 wird:

>    solve({x^2-9>(2*x+2)*(x-3)});

Aufgabe 2: Modulare Arithmetik

(a)

>    (13+x*17=0) mod 4;

Dies ist in den Ziffern 0,...,9 für x=3  und für x=7  erfüllt.

(b)

>    ISBN:="7-3215-4181-p";
10*7+9*3+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*1+p;
(10*7+9*3+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*1+p=0) mod 11;

Also ist p=9  die richtige Antwort.

(c): Kein Fehler für

>    10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9;
(10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9=0) mod 11;

und dies ist nur für z=6  der Fall (!). Probe:

>    for z from 0 to 9 do
   print(z, (10*7+9*8+8*2+7*1+6*5+5*4+4*1+3*8+2*z+9) mod 11);
od;

>   

Aufgabe 3 Taylor mit Restglied

(a)

>    f:=x->cos(x^2/4);

f := x -> cos(1/4*x^2)

>    T:=unapply(convert(taylor(f(x),x=2,3),polynom),x);evalf(t(x));

T := x -> cos(1)-sin(1)*(x-2)+(-1/2*cos(1)-1/4*sin(1))*(x-2)^2

(b) Restgliedabschätzung:

>    diff(f(x),x$3);

Wir ersetzen jetzt den Sinus durch 1 (größer kann der 1. Term für positive x nicht werden) und den Cosinus durch -1 (größer kann der 2. Term für positive x nicht werden) und erhalten so eine obere Schranke C für den Absolutbetrag der 3. Ableitung von f(x):

>    C:=x->3*x/4+x^3/8;   # in [1.5,2.0] ist Max bei x=2.0, weil monoton wachsend
C(2)=C(2.0);

C := x -> 3/4*x+1/8*x^3

>    R3:=x->C(2.0)/(1*2*3)*abs((x-2)^3):
plot({R3(x),f(x)-T(x),f(x),T(x)},x=1.5..2.0);
printf("Bei x=1.5: Restglied liefert ''Fehler < %f'', der wahre Fehler ist %f",R3(1.5),abs(f(1.5)-T(1.5)));
(Der wahre Fehler ebenso wie der Plot gehören nicht mehr zur Klausuraufgabe.)

[Maple Plot]

Bei x=1.5: Restglied liefert ''Fehler < 0.052083'', der wahre Fehler ist 0.005016

>    f(1.5);evalf(T(1.5));

Aufgabe 4 (Lineare Algebra)

Aufgabe 4(a)

>    with(LinearAlgebra):

>    Ab := Matrix(4,4,[[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,lambda,1],[2,0,-10,2]]);

Ab := Matrix(%id = 150316760)

>    D1:=GaussianElimination(Ab);

D1 := Matrix(%id = 147938464)

Für  ist die 3. Zeile eine (0*x3=0)-Gleichung, es gibt also unendlich viele Lösungen.
Für alle anderen
 gibt es genau eine Lösung, nämlich [1,0,0].


Aufgabe 4(b)

Wir spezialisieren nachfolgend auf den Fall  und suchen eine Lösung mit x1=5:

>    Ab := Matrix(4,4,[[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,-1,1],[2,0,-10,2]]):
D2:=ReducedRowEchelonForm(Ab);

D2 := Matrix(%id = 147191872)

Wir können daraus die gesuchte Lösung ablesen.
Oder wir können die Lösung durch Maple ausrechnen lassen, indem wir die Gleichung x1=5 als erste Gleichung hinzufügen:

>    Ab := Matrix(5,4,[[1,0,0,5],[0,4, 2,0],[1,2,-4,1],[1,8,-1,1],[2,0,-10,2]]):
x:=LinearSolve(Ab);

x := Vector(%id = 148967992)

Probe stimmt:

>    A := Matrix(4,3,[[0,4, 2],[1,2,-4],[1,8,-1],[2,0,-10]]):
b := Matrix(4,1,[[0],[1],[1],[2]]):
A.'x'=b;
A.x=b;

Matrix(%id = 149204592).x = Matrix(%id = 149522128)

Vector(%id = 148740852) = Matrix(%id = 149522128)

>   

Maple TM is a registered trademark of Waterloo Maple Inc.
Math rendered by WebEQ