Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/07/2006

Probeklausur 2c - 13.03.2006

Aufgabe 5 (Extremwerte)

Der Punkt (d,t)=(0,6) ist kein Extremum, der Punkt (d,t)=(16,6) ist ein Maximum. Für den maximalen Wissensstand gilt:

>    W:= (d,t)->200+8*d^2+6*t-d^3/3-t^2/2;
W(16,6.);

W := proc (d, t) options operator, arrow; 200+8*d^2+6*t-1/3*d^3-1/2*t^2 end proc

900.6666670

Aufgabe 6 (Gradient)

(a) Der Gradient grad F(x0) ist ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs von F im Punkt x0 zeigt und senkrecht auf den Höhenlinien steht. Die Länge des Vektors gibt die Steigung an.

(b)

>    F:=(x,y,z)->3*x*y-2*x^2+3*x/z;

F := proc (x, y, z) options operator, arrow; 3*x*y-2*x^2+3*x/z end proc

>    with(VectorCalculus): Gradient(F(x,y,z),[x,y,z]);

Vector(%id = 575688)

Das kann man auch in Komponentenschreibweise aufschreiben als 3-Komponenten-Spaltenvektor:

>    with(LinearAlgebra):

>    Matrix(3,1,[[diff(F(x,y,z),x)],[diff(F(x,y,z),y)],[diff(F(x,y,z),z)]]);

Matrix(%id = 582692)

Aufgabe 7 (Lineare Algebra)

Aufgabe 7(a)

>    with(LinearAlgebra):

>    A := Matrix(3,4,[[3,0,-1,0],[6,0,1,1],[-3,1,3,1]]);

A := Matrix(%id = 586680)

with(LinearAlgebra):
A := Matrix(3,4,[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,0,1,2]]);

>    D1:=SubMatrix(A, [1..3],[2,3,4]);
det1:=Determinant(D1);

D1 := Matrix(%id = 588136)

det1 := -1

>    D2:=SubMatrix(A, [1..3],[1,3,4]);
det2:=Determinant(D2);

D2 := Matrix(%id = 593468)

det2 := 3

>    D3:=SubMatrix(A, [1..3],[1,2,4]);
det3:=Determinant(D3);

D3 := Matrix(%id = 595884)

det3 := -3

>    D4:=SubMatrix(A, [1..3],[1,2,3]);
det4:=Determinant(D4);

D4 := Matrix(%id = 598624)

det4 := -9

Den kleinsten Wert (-9) hat also die Determinante von D4, das aus den ersten 3 Spalten besteht

Aufgabe 7(b) : Der Vektor x hat 4 Elemente. Berechnung der Lösung:

>    b:=Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]);

b := Matrix(%id = 601040)

>    x:='x': x:=LinearSolve(A,b);

x := Matrix(%id = 603804)

Probe stimmt:

>    A.x=b;

Matrix(%id = 608836) = Matrix(%id = 601040)

Umschreiben auf die einfachere Variable  x4 :

>    _t04[1,1]:=x4;t;

_t04[1,1] := x4

Vector(%id = 576128)

Aufgabe 7(c) : Der Ausdruck A.b existiert nicht. Die anderen sind berechenbar:

>    A.Transpose(A);

Matrix(%id = 613008)

>    b.Transpose(b);

Matrix(%id = 615424)

>    Transpose(b).A;

Matrix(%id = 618308)

Aufgabe 8 (Statistik)

>    with(stats):

Aufgabe 8(a) : X ist ( mu , sigma )-normalverteilt bedeutet: die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X ist proportional einer Gaussglocke mit Mittelwert mu  und Standardabweichung sigma .

Aufgabe 8(b) : Gesucht ist dasjenige mu , welches Phi((5-mu)/1) = .2  erfüllt:

>    zq:=stats[statevalf,icdf,normald](0.2);

zq := -.8416212336

>    solve(5-mu=zq,mu);

5.841621234

Der Mittelwert des Schraubengewichtes beträgt 5.84 g.

Aufgabe 8(c) : Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube exakt 7g wiegt, ist Null .

Aufgabe 9 (Komplexe Zahlen)

>    z:=(4*I+3)/(2-I)+2/(1-3*I)^2;

z := 6/25+58/25*I

>