Nach bestem Wissen gerechnet, aber:
Keine Gewähr für die Richtigkeit der Lösungen - WK/07/2006
Probeklausur 2c - 13.03.2006
Aufgabe 5 (Extremwerte)
Der Punkt (d,t)=(0,6) ist kein Extremum, der Punkt (d,t)=(16,6) ist ein Maximum. Für den maximalen Wissensstand gilt:
> | W:= (d,t)->200+8*d^2+6*t-d^3/3-t^2/2; W(16,6.); |
Aufgabe 6 (Gradient)
(a) Der Gradient grad F(x0) ist ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs von F im Punkt x0 zeigt und senkrecht auf den Höhenlinien steht. Die Länge des Vektors gibt die Steigung an.
(b)
> | F:=(x,y,z)->3*x*y-2*x^2+3*x/z; |
> | with(VectorCalculus): Gradient(F(x,y,z),[x,y,z]); |
Das kann man auch in Komponentenschreibweise aufschreiben als 3-Komponenten-Spaltenvektor:
> | with(LinearAlgebra): |
> | Matrix(3,1,[[diff(F(x,y,z),x)],[diff(F(x,y,z),y)],[diff(F(x,y,z),z)]]); |
Aufgabe 7 (Lineare Algebra)
Aufgabe 7(a)
> | with(LinearAlgebra): |
> | A := Matrix(3,4,[[3,0,-1,0],[6,0,1,1],[-3,1,3,1]]); |
with(LinearAlgebra):
A := Matrix(3,4,[[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,0,1,2]]);
> | D1:=SubMatrix(A, [1..3],[2,3,4]); det1:=Determinant(D1); |
> | D2:=SubMatrix(A, [1..3],[1,3,4]); det2:=Determinant(D2); |
> | D3:=SubMatrix(A, [1..3],[1,2,4]); det3:=Determinant(D3); |
> | D4:=SubMatrix(A, [1..3],[1,2,3]); det4:=Determinant(D4); |
Den kleinsten Wert (-9) hat also die Determinante von D4, das aus den ersten 3 Spalten besteht
Aufgabe 7(b) : Der Vektor x hat 4 Elemente. Berechnung der Lösung:
> | b:=Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]); |
> | x:='x': x:=LinearSolve(A,b); |
Probe stimmt:
> | A.x=b; |
Umschreiben auf die einfachere Variable x4 :
> | _t04[1,1]:=x4;t; |
Aufgabe 7(c) : Der Ausdruck A.b existiert nicht. Die anderen sind berechenbar:
> | A.Transpose(A); |
> | b.Transpose(b); |
> | Transpose(b).A; |
Aufgabe 8 (Statistik)
> | with(stats): |
Aufgabe 8(a)
: X ist (
,
)-normalverteilt bedeutet: die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X ist proportional einer Gaussglocke mit Mittelwert
und Standardabweichung
.
Aufgabe 8(b)
: Gesucht ist dasjenige
, welches
erfüllt:
> | zq:=stats[statevalf,icdf,normald](0.2); |
> | solve(5-mu=zq,mu); |
Der Mittelwert des Schraubengewichtes beträgt 5.84 g.
Aufgabe 8(c) : Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube exakt 7g wiegt, ist Null .
Aufgabe 9 (Komplexe Zahlen)
> | z:=(4*I+3)/(2-I)+2/(1-3*I)^2; |
> |