{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Aufgabe 5 Extremwerte" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "restart: with(plots):\nwith( Optimization):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "G:= (a,h) ->2*a*h/3+6-(a-2)^3/3-(h-10)^2/2;\nMaximize(G(a,h));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Wir vollziehen diese numerische Maple-L\366sung nun schrittweise nach:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 197 "G_a:=diff(G(a,h),a);\nG_h:=diff(G(a,h),h);\nsolve(\{G_a=0,G_h=0.\},\{ a,h\}); # mit '0.' sehen wir die numerischen L\366sungen\nsolve(a=9* (a-2)^2/4-15); # hier sehen wir die symbolischen L\366sungen f \374r a" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 104 "G_aa:=diff(G_a, a); G_hh:=diff(G_h,h); G_ah:=diff(G_a,h);\nDelta:=G_aa*G_hh-G_ah^2 ;\nsolve(\{Delta>0.\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Also \+ muss a>2.222 gelten, um eine Extremall\366sung zu haben. Deshalb kommt die 2. L\366sung von solve(\{G_a=0,G_h=0.\},\{a,h\}); nicht in Frage, es bleibt nur die " }{TEXT 256 28 "L\366sung \{a=4.9799, h=13.3199\} " }{TEXT -1 50 ", und diese ist auch ein Maximum, weil G_hh=-1<0.\n" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "Del:=unapply(Delta,a); Del (4.9799); Del(-0.5354);" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Dieser Teil geh\366rt nicht mehr zur Klausuraufgabe, nur \+ zur Visualisierung der Resultate" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "plot3d(G(a,h),a=0..15,h=0.1..25,axes=boxed);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "contourplot(G(a,h),a=0..10,h =0.1..25,axes=boxed,contours=100);" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Aufgabe 6 (Statistik)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "(a ): Das Passwort enth\344lt entweder 4 A's oder 3 B's" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 388 "4 A's: Anzahl z1 der M\366glichkeiten mit 4 A' s, 2 B's: Die zwei Binomialfaktoren z\344hlen die M\366glichkeiten f \374r die A-Positionen (4 aus 6), die M\366glichkeiten f\374r die B-Po sitionen (2 aus den restlichen 2) und die f\374r die C-Position (nur 1 verbleibende M\366glichkeit). Dies ist zu multiplizieren mit den m \366glichen A-W\366rtern auf diesen Positionen (26^4), den B-W\366rter n auf diesen Positionen (10^2)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "z1:=binomial(6,4)*binomial(2,2)*26^4*10^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "3 B's: Anzahl z2 der M\366glichkeiten mit 3 A's, \+ 3 B's:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "z2:=binomial(6,3) *binomial(6-3,3)*26^3*10^3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Ge samtzahl Passw\366rter der L\344nge 6:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "zP:=z1+z2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 168 "u nd dies ist gr\366\337er als eine Milliarde.\n\n(b): zK: Anzahl der 6- Zeichen-Kleinbuchstaben-W\366rter. Die Anzahl zP der Passw\366rter L \344nge 6 nach (a) ist um Faktor 3.356 gr\366\337er:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "zK:=26^6;evalf(zP/zK);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 570 "Die erste Passwortklasse ist also sicherer, we il sie um den Faktor 3 mehr Elemente hat. - Und dies obwohl die Klasse B weniger Zeichen als die Klasse A enth\344lt! Aber das Produkt aus S tellungs-Kombinationen*Zeichenvorrat ist jeweils gr\366\337er, denn bi nomial(6,4)*100 > 26^2 und binomial(6,3)*1000>26^3.\n\nAufgabe 6(c): L aplace'scher Spezialfall: alle Elementarereignisse (Hacker w\344hlt zu f\344lliges Passwort, Ereignis A: Hacker-Passwort = User-Passwort) sin d gleichwahrscheinlich. Deshalb ist bei einem Knack-Versuch die Wahrsc h. 1/zP, bei 10.000 Knack-Versuchen eben 10000/zP: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "p:=10000./zP;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "Die Wahrscheinlichkeit, das Passwort so zu knacken, ist a lso ziemlich gering." }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Aufgabe 7 (Graphen / komplexe Zahlen)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 293 "(a) \nBaum: kreisfreier, zusammenh\344ngender Graph. Oder: Graph, in \+ dem zwischen je 2 Knoten genau 1 Weg existiert.\nWurzelbaum W: gericht eter Baum-Graph, in dem alle Pfeile vom wurzeln\344heren zum wurzelfer neren Knoten zeigen.\nL\344nge Wurzelbaum W: L\344nge (also Anzahl Kan ten) des l\344ngsten Weges in W." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 162 "(b) (L_3 zeigt man durch Aufmalen, L_4 folgt dann durch Analogie) \nL_3 = 2^1+2^2+2^3 = 2^4-2 = 14\nL_4 = 2^1+2^2+2^3+2^4 = 2^5-2 = 30\n L_N= 2^2+...+2^N = 2^(N+1) - 2" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "(c)\nsiehe Vorlesungsskript\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 " (d)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "z:=(4-3*I)/(2+4*I)+3 *I;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "Im(z);" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Aufgabe 8 (DGL)" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 281 "Die DGL hat die Ordnung 1 (h\366chste Ableitung ist y' (x), sie ist implizit (nicht nach h\366chster Ordnung aufgel\366st)(si e k\366nnte aber leicht durch Umstellen nach h\366chster Ordnung aufge l\366st werden), sie ist linear und sie ist inhomogen (es gibt den Te rm 6 in dem y(x) nicht auftaucht). " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "dsolve(diff(y(x),x)+2*y(x)=6);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "... ist die allgemeine Lsg der DGL" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "simplify(dsolve(\{diff(y(x),x)+2*y(x)=6,y (1)=9\}));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "... ist die explizi te Lsg zu den geg. Anfangsbedingungen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "plot(y(x),x=-0.1..3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "y(0)=3+6.*exp(2.);eval(y(x),x=0.);" }}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{MARK "2 2 0 0" 131 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }