Lösung zu Ü4.(b) "Taylor für g(x)"

Zunächst sind die Ableitungen für g(x) zu bestimmen: Bei g'(x) ist die Ableitung einfach der Integrand vom Integral in g(x), bei den höheren Ableitungen kommt die Quotientenregel zum Einsatz:

Bei g⁽³⁾(x) wurde der Term sin(x)/x abgespalten, weil dann der Grenzwert "x gegen 0" einfacher zu berechnen ist (s.u.).

Nun müssen wir Funktion g(x) und ihre Ableitungen an der Stelle x=0 auswerten:

, weil ein Integral bei gleicher oberer und unterer Integrationsgrenze immer verschwindet.

Bei den Ableitungen können wir leider nicht einfach x=0 einsetzen, weil dabei immer ein undefinierter Ausdruck entsteht. Wir müssen die Ausdrücke mit Grenzwertübergang ausrechnen, und hierbei hilft L'Hospital weiter:

Hierbei haben wir an mehreren Stellen benutzt:

o Die Ableitung von xcos(x) –sin(x) ist –xsin(x)

o Der Grenzwert von sin(x)/x für "x gegen 0" ist 1

Damit folgt für das Taylorpolynom:

wie auch Maple zeigt: taylor(int(sin(t)/t,t=0..x),x=0,4);