Spiele, Simulation und dynamische Systeme

Diskretisierung der Übergangsbeziehung

Systeme erster Ordnung

Die Anfangswertaufgabe für ein System erster Ordnung: Gesucht ist die Zeitfunktion z(t) derart, dass sie die Übergangsbeziehung

erfüllt und einen vorgegebenen Anfangswert z(0) hat. (Die Übergangsbeziehung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Wir nennen sie manchmal auch Systemgleichung.)

Zur näherungsweisen Lösung der Systemgleichung ersetzen wir den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten . Wenigstens näherungsweise gilt also folgende Systemgleichung:

Wir wollen die Näherungslösung des Anfangswertproblems für die äquidistanten Zeitpunkte t₀, t₁, t₂, ... bestimmen. Die Schrittweite sei h. Angefangen wird mit t₀= 0. Es ist also t_i = h·i, wobei der Index i die Werte 0, 1, 2, ... durchläuft. Wir setzen z_i = z(t_i). Ersetzt man in der Systemgleichung t durch t_i, erhält man die Übergangsbeziehung in der Form

Der Anfangswerte z₀ = z(0) ist bekannt. Von da aus können wir - Schritt für Schritt weitergehend - die Folge von Zustandswerten z₀, z₁, z₂, ... errechnen. Das treiben wir so lange, bis der uns interessierende Zeitbereich durchschritten ist. Wir haben damit eine Näherungslösung für das System gefunden.

Die Lösung wird umso genauer, je kleiner die Schrittweite h gewählt wird. Dementsprechend steigt die Anzahl der Rechenschritte, die man braucht, um einen gegebenen Zeitbereich zu durchschreiten.

Der Aufwand für die Näherungslösung kann beträchtlich werden. Effizientere Verfahren als das hier verwendete, nach den Mathematikern Euler und Cauchy benannte, findet man in der Literatur zur numerischen Mathematik. Besonders interessant für Berechnungen mittels Tabellenkalkulation sind die Einschrittverfahren. Außer dem Verfahren von Euler-Cauchy gehören dazu noch die Verfahren von Heun und Runge-Kutta.

Weiterführende Einführung zu Heun i. Vgl. zu Euler: DGL-Heun-Euler.pdf von B. Berchtold (www.mathematik.ch).

Systeme höherer Ordnung

Der Sprung vom 10-m-Turm eines Schwimmbads wird durch den Weg w (gemessen in Metern) beschrieben, den der idealisierte (zu einem Massepunkt geschrumpfte) Springer zurücklegt: Oben ist der Nullpunkt und die Wasseroberfläche entspricht der 10-Meter-Marke. Der freie Fall wird durch die Erdbeschleunigung regiert. Die zweite Ableitung des Weges ist gleich der (konstanten) Erdbeschleunigung: . Für die Erdbeschleunigung sei hier vereinfachend der Wert g = -10 m/s² angenommen.

Für den 45ten Breitengrad ist g = -9,81 m/s² ein genauerer Wert.

Gesucht ist die Abhängigkeit des Weges von der Zeit, die wir nun einmal mit numerischen Methoden angehen wollen.

Für die Zustandsraumdarstellung wird als weitere Variable die Geschwindigkeit v (gemessen in Metern je Sekunde) eingeführt. Dieser "Trick" reduziert die Ordnung der in den Gleichungen vorkommenden Ableitungen, führt aber zu einer erhöhten Anzahl von Gleichungen. Schließlich hat man Differentialgleichungen erster Ordnung, dafür aber für jede Zustandsvariable eine extra Gleichung.

Dieses System kann man genauso schreiben wie oben, wenn man den Zustandsvektor z folgendermaßen einführt: z(t) = (w(t), v(t)). Die obige diskretisierte Übergangsbeziehung kann nun auf das vorliegende Beispiel höherer Ordnung übertragen und führt auf ein System von Rekursionsgleichungen für die Zustände z_i = (w_i, v_i):

Übung: (a) Erstellen Sie ein Arbeitsblatt, das diese Gleichungen umsetzt. (Sprung10m.xls). Formulieren Sie vorher Ihre Erwartung über die Kurve für das Weg-Zeit-Verhalten.

(b) Vergleichen Sie die Spalte w_i aus der Simulation mit einer Spalte, die die exakte Formel w(t)=gt²/2 enthält. Wieso sind beide Spalten numerisch nicht exakt gleich? Wann ist der Unterschied groß, wann klein?

(c) (etwas anspruchsvoller): Können Sie für die v_i+1 und w_i+1, die ja aus der Simulation rekursiv ermittelt werden, auch eine geschlossene Formel angeben, die nur h, g und Index i benutzt? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie im Arbeitsblatt neben die rekursive w_i-Spalte auch eine w_i-Spalte mit der geschlossenen Formel setzen.
[Hinweis: Schreiben Sie v₀,v₁,v₂,... auf und "raten" Sie daraus das allgemeine Bildungsgesetz für v_i. Schreiben Sie dann w₀,w₁,w₂,... auf und "raten" Sie daraus das allgemeine Bildungsgesetz für w_i.] (Lösung)

(d) Was ist zu beachten, wenn Sie die Simulation in einem Computerprogramm (nicht in Excel) „in-place“ durchführen, d.h in einer Schleife die Anweisungen

; }

ausführen? (Lösung)

Literaturhinweise

Isaacson, E.; Keller, H. B.: Analyse numerischer Verfahren. Harri Deutsch Frankfurt/M., Zürich 1973

Schwetlick, H.; Kretzschmar, H.: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Eine computerorientierte Einführung. Fachbuchverlag Leipzig 1991. Im Abschnitt über Runge-Kutta Verfahren (S. 229 ff.) sind sämtliche angesprochenen Verfahren mit Erläuterungen zu finden. Die Darstellung ist übersichtlich und anwendungsorientiert.

Stoer, J.: Numerische Mathematik 1. Springer, Berlin, Heidelberg 1994.

Stoer, J.; Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 2. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1990. Tiefer gehendes und klassisch theoretisch angelegtes Werk über die angesprochenen Methoden.

Berchthold, B. (www.mathematik.ch): Numerische Lösung von Differentialgleichungen. Kurze 2-Seiten-Einführung zu Euler und Heun.

Press, William et al.: Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press.

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