Das Problem des Leitermittelpunkts

Eine Leiter steht zunächst senkrecht an der Wand und rutscht dann langsam mit ihrem Fußpunkt von der Wand weg, wobei der obere Endpunkt der Leiter stets mit der Wand in Kontakt bleibt. Welche Kurve im Raum beschreibt der Mittelpunkt der Leiter? Ist die Kurve eher konkav oder konvex?

Lösung

Das Bemerkenswerte an diesem Problem ist, dass die anschauliche Vorstellung uns fast mit Sicherheit in die Irre führt. Die meisten Menschen antworten, dass die Kurve konkav sei, tatsächlich ist sie jedoch genau ein Viertelkreis.

Das Problem läßt sich durch folgendes Gedankenexperiment anschaulich lösen: Nehmen wir an, wir haben eine zweite (blaue) Leiter gleicher Länge, die mit ihrem Fußpunkt immer genau an der Wand steht, bei der jedoch nun der obere Endpunkt von der Wand weg fällt. Offensichtlich beschreiben alle Punkte der blauen Leiter genau Viertelkreise. Wenn wir beide Leitern im Mittelpunkt starr verbinden, dann fallen sie wie eine Schere gemeinsam, unter Einhaltung ihrer jeweiligen Nebenbedingungen. Daraus wird offensichtlich, dass beide Mittelpunkte dieselbe Kurve beschreiben.

Wir zeigen durch eine kleine Animation (mit Maple erzeugt), wie man sich durch Simulation und Animation von der richtigen Lösung überzeugen kann. Die Sequenz zeigt recht überzeugend, dass der Mittelpunkt von roter und blauer Leiter immer übereinander liegen, und dass dieser Mittelpunkt genau einen Viertelkreis beschreibt.

> display(bewegung,insequence=true,scaling=constrained,title=`Die Bewegung der Leiter`,axes=normal);

Läßt man insequence=true weg, so wird alles übereinander geplottet, und man sieht die Einhüllende der roten Leiter:

> display(bewegung,scaling=constrained);

Hier sieht man sehr schön, dass die Einhüllende (Enveloppe) der rutschenden (roten) Leiter eine konkave Form hat. Diese Einhüllende ist so prägnant in der Vorstellung, dass die meisten Menschen auch für die (schwerer vorstellbare) Bewegung des Mittelpunkts fälschlicherweise diese wesentlich einprägsamere konkave Form annehmen. Unsere "Simulation im Kopf" führt leicht zum falschen Resultat!

Maple-Source: LeiterMittelpunkt.mws.

ã Wolfgang Konen, 15.03.2004